Limites : Multiplier par le binôme conjugué
Solution de l'exercice 1.10
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Pour calculer la limite suivante :
Nous allons séparer le calcul en deux parties. Dans la première partie nous calculerons la limite de cette fonction pour x tendant vers +infini. Tandis que dans la deuxième partie nous calculerons la limite pour x tendant vers -infini.
Pour x -> +infini
Nous obtenons une forme indéterminée qu'il va falloir lever par un artifice de calcul. Nous allons procéder en multipliant le numérateur et le dénominateur (qui vaut 1) par le binôme conjugué.
Le passage à la ligne suivante se fait en utilisant le produit remarquable
(A - B) (A + B) = A2 - B2
Si je tente de remplacer x par +infini à ce stade-ci, j'obtiens la forme indéterminée infini/infini. Je vais donc continuer mon travail pour lever ce cas d'indétermination en mettant le terme du plus haut degré en évidence.
Pour passer à la ligne suivante il faut bien comprendre comment sortir un x2 d'une racine carrée. C'est plus compliqué qu'on ne le croit.
Or ici x > 0 puisque x tend vers +infini d'où on peut dire que |x| = x (plus d'explications sur les valeurs absolues).
Je simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par x et j'obtiens :
Je remplace tous les x par +infini :
Pour x -> -infini
Pour x tendant vers -infini, le calcul est très différent et la réponse l'est tout autant :
Nous obtenons encore un cas d'indétermination que nous allons lever de façon un peu différente.
Cette fois-ci x < 0 puisque x tend vers -infini d'où on peut dire que |x| = -x (plus d'explications sur les valeurs absolues).
Maintenant je vais remplacer tous les x par -infini.
Pour conclure, lorsque x tend vers +infini, la fonction tend vers 3. Tandis que lorsque x tend vers -infini, la fonction tend vers +infini. |
Observez le graphique de la fonction :
On voit très bien sur ce graphique que lorsque x -> +infini, la courbe tend à se rapprocher d'une droite horizontale qui coupe l'axe des y en 3. Par conséquent, en calculant la limite pour x tendant vers +infini, nous venons de confirmer qu'il existe une asymptote horizontale d'équation y = 3.
Tandis que lorsque l'on se dirige vers des valeurs de x négatives, on voit que si x -> -infini alors la courbe file vers le haut, c'est-à-dire vers des valeurs de y tendant vers +infini.
Nous avons ainsi vérifié nos calculs graphiquement et nous sommes satisfait du travail réalisé.
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