Limite: fonction puissance


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Lorsque vous obtenez 1infini dans le calcul de la limite d'une fonction puissance du type, par exemple, (1 + 1/x)x, vous devez utiliser un artifice de calcul pour lever la forme indéterminée et résoudre la limite (voir tableau récapitulatif des différentes techniques de résolution des cas indéterminés).

Formule à connaître

Comment on fait pour calculer la limite d'une fonction puissance, avec x en exposant

e = 2,718... C'est la constante de Néper ou nombre exponentiel.


Exemple

Soit la fonction f(x) = (1 + 1/2x)x, on vous demande de calculer la limite de cette fonction pour x tendant vers l'infini.

calculer la limite de f(x) = (1 + 1/2x)^x avec x tendant vers l'infini

Il s'agit d'une forme indéterminée que nous allons lever par l'artifice de calcul suivant :

Posons u = 2x

Dans ce cas, si x tend vers l'infini alors 2 fois x, et donc u, tendent également vers l'infini.

Nous pouvons donc écrire le calcul suivant :

calculer la limite de la fonction puissance suivante f(x) = (1 + 1/2x)^x avec x en exposant

Observez ci-dessous le graphique de la fonction f(x)

tracer le graphique d'une fonction puissance avec x en exposant

Graphique tracé à l'aide de notre calculatrice scientifique graphique en ligne (utilisation gratuite).

Vous remarquez que pour de grandes valeurs de x (donc pour x tendant vers l'infini), la courbe devient de plus en plus horizontale et tend vers une asymptote horizontale. Cette asymptote horizontale coupe l'axe des ordonnées en y = 1,649, son équation est donc y = 1,649 (pour info).

Le problème 1 : "Il pleut des parachutes dorés,... c'est la crise !" utilise la formule de la limite d'une fonction puissance pour calculer le solde d'un compte dont le taux d'interêt est reversé instantanément (c'est-à-dire en chaque instant au lieu d'une fois par an) sur le compte du client.